Constante d'Euler

Pour tout entier naturel `n`  non nul, on pose \(\displaystyle H_{n}=\underset{k=1}{\overset{n}{\sum}}\dfrac{1}{k}\) .

1. Démontrer que la suite \(\left(H_{n}\right)\)  est strictement croissante.

2. a. Démontrer que, pour tout réel \(x>-1\) , on a \(\ln\left(1+x\right)\leqslant x\) .
    b. En déduire que, pour tout entier naturel `k`  non nul, \(\ln\left(k+1\right)-\ln k\leqslant\dfrac{1}{k}\) .
    c. Soit \(n\in \mathbb N^*\) . Démontrer que \(H_{n}\geqslant\ln\left(n+1\right)\) . Que peut-on en déduire pour la suite \(\left(H_{n}\right)\)  ?

3. On considère la suite \(\left(u_{n}\right)\)  définie pour tout entier naturel `n`  non nul, par \(u_{n}=H_{n}-\ln n\) .
    a. Démontrer que la suite \(\left(u_{n}\right)\)  est décroissante et minorée.
    b. Que peut-on en déduire ?

Remarque

La suite \(\left(u_{n}\right)\)  converge vers un réel \(\gamma\)  appelé constante d'Euler. \(\gamma\approx0,577\) .